Autori: RNDr. Dominik Borovský¹, doc. RNDr. Jozef Hanč², PhD.

2026, ÚFV PF, Univerzita Pavla Jozefa Šafárika v Košiciach

¹dominik.borovsky@student.upjs.sk, ²jozef.hanc@upjs.sk

Zoznámte sa so SageMath

V tomto minikurze, ktorý pozostáva zo série niekoľkých materiálov, získate zručnosti so softvérom, ktorý vám umožní efektívne riešiť fyzikálne alebo aj matematické úlohy a problémy s využitím počítača. V rámci neho sa naučíte používať matematický sofvér SageMath (alebo skrátene Sage, anglicky to znamená mudrc).

Sage je voľne dostupný pythonovský open-source softvér, ktorý je tzv. systémom počítačovej algebry (CAS z ang. Computer Algebra System).

Sage umožňuje:

* ***manipuláciu s matematickými výrazmi,*** ako je napr. zadávanie komplikovaých funkcií alebo vyčíslenie konkrétnych funkčných hodnôt
> ***Príklad:*** *Zadanie závislosti výchylky $x$ od času $t$ pre tlmené kmity: $x(t) = A \, e^{-bt} \cos(\omega t)$, výpočet výchylky $x$ pre konkrétne číselné hodnoty $A, b, \omega$ v konkrétnom čase $t$.* 
* ***riešenie a úprava rovníc***, ich sústav
> ***Príklad:*** *Riešenie sústavy rovníc s neznámymi $x,y,z$:*
> 
> $$\begin{aligned}
2x + y - z = 3 \\
- x + 3y + 2z = 7 \\
4x - 2y + z = 1
\end{aligned}$$

* ***symbolické úpravy a výpočty*** (t.j. práca s premennými v podobe písmen) ako je napr. automatické zjednodušenie výrazov alebo všeobecné riešenie rovníc
> ***Príklad:*** *Nájdenie všeobecného vzťahu pre čas $t$, v ktorom dosiahne voľne vyhodené teleso konkrétnu výšku $h$ z pohybovej rovnice:
> $$h = h_0 + v_0 t - \frac{1}{2} g t^2$$*
* ***pokročilú štatistickú analýzu*** (napríklad výsledkov meraní)
* ***kvalitné vizualizácie*** v podobe rôzne kombinovaných *grafov*, zobrazenie dát, pekne nasádzaných, ľahko čitateľných výrazov a rovnice
* ***automatizáciu*** všetkých vyššie zmienených krokov (napr. pomocou `if` a `for` cyklov).

Sage umožňuje:

manipuláciu s matematickými výrazmi, ako je napr. zadávanie komplikovaých funkcií alebo vyčíslenie konkrétnych funkčných hodnôt

Príklad: Zadanie závislosti výchylky $x$ od času $t$ pre tlmené kmity: $x(t) = A \, e^{-bt} \cos(\omega t)$, výpočet výchylky $x$ pre konkrétne číselné hodnoty $A, b, \omega$ v konkrétnom čase $t$.
riešenie a úprava rovníc, ich sústav

Príklad: Riešenie sústavy rovníc s neznámymi $x,y,z$:

$$\begin{aligned} 2x + y - z = 3 \\ - x + 3y + 2z = 7 \\ 4x - 2y + z = 1 \end{aligned}$$
symbolické úpravy a výpočty (t.j. práca s premennými v podobe písmen) ako je napr. automatické zjednodušenie výrazov alebo všeobecné riešenie rovníc

Príklad: Nájdenie všeobecného vzťahu pre čas $t$, v ktorom dosiahne voľne vyhodené teleso konkrétnu výšku $h$ z pohybovej rovnice: $$h = h_0 + v_0 t - \frac{1}{2} g t^2$$
pokročilú štatistickú analýzu (napríklad výsledkov meraní)
kvalitné vizualizácie v podobe rôzne kombinovaných grafov, zobrazenie dát, pekne nasádzaných, ľahko čitateľných výrazov a rovnice
automatizáciu všetkých vyššie zmienených krokov (napr. pomocou if a for cyklov).

Pre pokročilých: Sage umožňuje aj prácu v rámci diferenciálneho a integrálneho počtu v podobe získania derivácií funkcií, integrálov (v analytickej podobe či približne vyčíslené pre konkrétne hranice integrálu) alebo priamo riešenie diferenciálnych rovníc.

Filozofiou Sagu je spájať dokopy množstvo balíkov z univerza otvoreného matematického softvéru. Lepidlom, ktoré spája všetky tieto dostupné prostriedky, je Python, ktorý je najpopulárnejším a najľahšie naučiteľným programovacím jazykom. Takže a

Zo spomenutých softvérov, ktoré sú súčasťou Sagu môžeme zmieniť:

Maxima: jednoducho použiteľný CAS
SciPy: Scienfific Python - knižnica na vedecké výpočty v Pythone
NumPy: Numerical Python - knižnica na rýchle numerické výpočty
Pandas: pythonovská knižnica pre prácu s dátami (napr. z excel súborov)
R: veľmi rozšírený programovací jazyk medzi dátovými analytikmi a štatistikmi
a množstvo iných

Sage je švajčiarsky nožík medzi otvorenými matematickým softvérami. Veľa vecí je ihneď k dispozícii bez toho, aby bolo potrebné ich individuálne sťahovať/inštalovať a nie je nutné ich používať oddelene.

Na čo sa to vlastne pozerám?

To, na čo sa práve pozeráte, je jeden z materiálov vo formáte [**interaktívneho SageMath AI notebooku**](https://github.com/JupyterPER/SageMathAINotebooks). Jedná sa o projekt autorov tohto materiálu (D. Borovský, J. Hanč), ktorého cieľom je jednoducho a pohodlne sprístupniť SageMath v podobnom formáte ako sú známe [Jupyter notebooky](https://jupyter.org/).

Jedná sa o súbory s koncovkou `.html`, ktoré viete otvárať a upravovať cez akýkoľvek **webový priehliadač** (Google Chrome, Firefox, MS Edge a pod.). Nevyžadujú **žiadnu inštaláciu** a je možné ich používať cez ľubovoľné zariadenia, od PC cez tablety až po mobily s podporou pre všetky štandardné platformy (Windows, MacOS, Linux, Android, iOS atď.). Môžete ich mať uložené na svojom zariadení/zariadeniach, alebo vám môžu byť poskytnuté aj ako webová stránka. Aby boli tieto dokumenty plne funkčné, potrebujete jedinú vec: **pripojenie na Internet**.

skladajú sa z týchto základných častí:

* **ovládací panel** navrchu (zelené tlačidlá)
* **telo** zložené s tzv. **buniek** (*angl.* cells) s textom, obrázkami, prípadne videami a ***spustiteľným kódom***

To, na čo sa práve pozeráte, je jeden z materiálov vo formáte interaktívneho SageMath AI notebooku. Jedná sa o projekt autorov tohto materiálu (D. Borovský, J. Hanč), ktorého cieľom je jednoducho a pohodlne sprístupniť SageMath v podobnom formáte ako sú známe Jupyter notebooky.

Jedná sa o súbory s koncovkou .html, ktoré viete otvárať a upravovať cez akýkoľvek webový priehliadač (Google Chrome, Firefox, MS Edge a pod.). Nevyžadujú žiadnu inštaláciu a je možné ich používať cez ľubovoľné zariadenia, od PC cez tablety až po mobily s podporou pre všetky štandardné platformy (Windows, MacOS, Linux, Android, iOS atď.). Môžete ich mať uložené na svojom zariadení/zariadeniach, alebo vám môžu byť poskytnuté aj ako webová stránka. Aby boli tieto dokumenty plne funkčné, potrebujete jedinú vec: pripojenie na Internet.

skladajú sa z týchto základných častí:

ovládací panel navrchu (zelené tlačidlá)
telo zložené s tzv. buniek (angl. cells) s textom, obrázkami, prípadne videami a spustiteľným kódom

Ovládací panel

Vo vrchnej časti obrazovky môžete vidieť ovládací panel s niekoľkým tlačidlami. Jedno z najdôležitejších je tlačidlo

***Save* (ikonka diskety <svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg"
     width="22" height="22"
     viewBox="0 0 24 24"
     fill="none"
     stroke="currentColor"
     stroke-width="2"
     stroke-linecap="round"
     stroke-linejoin="round">
  <path stroke="none" d="M0 0h24v24H0z" fill="none"/>
  <path d="M6 4h10l4 4v10a2 2 0 0 1 -2 2h-12a2 2 0 0 1 -2 -2v-12a2 2 0 0 1 2 -2" />
  <path d="M12 14m-2 0a2 2 0 1 0 4 0a2 2 0 1 0 -4 0" />
  <path d="M14 4l0 4l-6 0l0 -4" />
</svg>)**

* uloží notebook, v ktorom ste urobili nejaké zmeny (text, kód, úpravy buniek)
* po stlačení vás vyzve na stiahnutie `.html` dokumentu, pričom sa obsah zafixuje
* po uložení, ak chcete pokračovať v predošlej práci, otvorte `.html` dokumentu, ktorý sa vám stiahol

> ***Odporúčanie:*** *Zvyčajne prehliadače všetok sťahovaný obsah ukladajú do priečinka "Prevzaté" (prípadne "Downloads"). Najlepšie je nastaviť si webový prehliadač tak, aby sa vás stále opýtal, kde si chcete sťahovaný obsah uložiť. V Google Chrome sa to dá nastaviť cez:*
> 1. "Tri bodky" (vpravo hore na paneli) 
> 2. "Nastavenia"
> 3. "Stiahnuté"
> 4. zašktrnúť "Pred každým sťahovaním sa spýtať, kam uložiť súbor"
>   
> *Alebo skratka cez [chrome://settings/downloads](chrome://settings/downloads) (skopíruj túto adresu do Chrome).*
>
> *Podobne by to malo ísť aj v iných prehliadačoch.*

Význam ďalších tlačidiel je ozrejmený v [návode ku SageMath AI Notebookom (odkaz)](https://docs.google.com/document/d/e/2PACX-1vTKGQxS4MhGdYBFHGYsGAc16vJV0aL-DNEcwT5ETWUEN6ikGR4TtZHAy1aw7rNGTzFFPb9l91BasqSM/pub).

> ***Vyskúšajte si:*** *Po prečítaní/vašich úpravách uložte tento materiál do svojho počítača/zariadenia.*

Vo vrchnej časti obrazovky môžete vidieť ovládací panel s niekoľkým tlačidlami. Jedno z najdôležitejších je tlačidlo

Save (ikonka diskety )

uloží notebook, v ktorom ste urobili nejaké zmeny (text, kód, úpravy buniek)
po stlačení vás vyzve na stiahnutie .html dokumentu, pričom sa obsah zafixuje
po uložení, ak chcete pokračovať v predošlej práci, otvorte .html dokumentu, ktorý sa vám stiahol

Odporúčanie: Zvyčajne prehliadače všetok sťahovaný obsah ukladajú do priečinka "Prevzaté" (prípadne "Downloads"). Najlepšie je nastaviť si webový prehliadač tak, aby sa vás stále opýtal, kde si chcete sťahovaný obsah uložiť. V Google Chrome sa to dá nastaviť cez:

"Tri bodky" (vpravo hore na paneli)

"Nastavenia"

"Stiahnuté"

zašktrnúť "Pred každým sťahovaním sa spýtať, kam uložiť súbor"

Alebo skratka cez chrome://settings/downloads (skopíruj túto adresu do Chrome).

Podobne by to malo ísť aj v iných prehliadačoch.

Význam ďalších tlačidiel je ozrejmený v návode ku SageMath AI Notebookom (odkaz).

Vyskúšajte si: Po prečítaní/vašich úpravách uložte tento materiál do svojho počítača/zariadenia.

Telo notebooku - bunky

Každý notebook je postavený zo série **buniek** (*cells*) - akoby kúskov textu, či už v podobe vysvetlení (ako je práve toto), alebo kódu. Keď prechádzate myšou po tomto notebooku, tak sa vám ku každej z buniek v tomto dokumente zobrazujú menšie ovládacie panely pre každú z buniek. Pomocou nich viete upravovať poradie buniek, pridávať prázdne, mazať bunky a podobne.

> ***Vyskúšajte si:** Čo robia jednotlivé tlačidlá v menších ovládacích paneloch pri bunkách? Ak sa vám podarí tento notebook "rozbiť", môžete ho obnoviť pomocou `F5` (refresh).*

* **textové bunky**, v ktorých sa píšu sprievodné informácie/obsah k Vašim výpočtom. Používajú jednoduchý jazyk ***Markdown***, ktorý pomocou obyčajného textu umožňuje rozličné editácie, podporuje aj $\LaTeX$, ktorý slúži na sádzanie skvele vyzerajúcich matematických formúl, napr.:
    * Eulerova identita: $e^{i\pi} + 1 = 0$
    * Schrödingerova rovnica:
$$i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\Psi(\vec{r},t)
=
\left[
-\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\vec{r},t)
\right]
\Psi(\vec{r},t)$$
    * Markdown v kódových bunkách môžete upravovať po stlačení tlačidla `Edit/View`. Ak sa niečo napíšete, obsah sa ihneď "rendruje" pod editovacím oknom.

Každý notebook je postavený zo série buniek (cells) - akoby kúskov textu, či už v podobe vysvetlení (ako je práve toto), alebo kódu. Keď prechádzate myšou po tomto notebooku, tak sa vám ku každej z buniek v tomto dokumente zobrazujú menšie ovládacie panely pre každú z buniek. Pomocou nich viete upravovať poradie buniek, pridávať prázdne, mazať bunky a podobne.

Vyskúšajte si: Čo robia jednotlivé tlačidlá v menších ovládacích paneloch pri bunkách? Ak sa vám podarí tento notebook "rozbiť", môžete ho obnoviť pomocou F5 (refresh).

textové bunky, v ktorých sa píšu sprievodné informácie/obsah k Vašim výpočtom. Používajú jednoduchý jazyk Markdown, ktorý pomocou obyčajného textu umožňuje rozličné editácie, podporuje aj $\LaTeX$, ktorý slúži na sádzanie skvele vyzerajúcich matematických formúl, napr.:
- Eulerova identita: $e^{i\pi} + 1 = 0$
- Schrödingerova rovnica: $$i\hbar \frac{\partial}{\partial t}\Psi(\vec{r},t) = \left[ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 + V(\vec{r},t) \right] \Psi(\vec{r},t)$$
- Markdown v kódových bunkách môžete upravovať po stlačení tlačidla Edit/View. Ak sa niečo napíšete, obsah sa ihneď "rendruje" pod editovacím oknom.

* **kódové bunky** obsahujú vopred pripravený kód alebo sú ponechané prázdne a môžete v nich sami napísať
    *  na ich spúšťanie môžete použiť tlačidlo `Execute`
    *  ak ste s kurzorom v bunke (pri písaní), môžete ich spúšťať súčasným stlačením kláves `Ctrl + Enter` (alebo aj klávesová skratka `Shift + Enter`)
    *  pri spustení kódovej bunky sa program vykoná a buď sa **zobrazí výsledok**, alebo sa **uložia do pamäte** vami zadané údaje (napr. premenné). 
    * Kódové bunky je potrebné **spúšťať postupne** od prvej, aby sa medzivýsledok z každej predošlej načítal do tej nasledujúcej. Ak urobíte v niektorej bunke zmenu, tak po **opätovnom spustení** bunky za v nej zmenené hodnoty prepíšu, resp. sa aktualizuje výstup.

> *Ďalšie užitočné **klávesové skratky** nájdete sú uvedené v menu pod ikonkou otáznik <svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="22" height="22" viewBox="0 0 24 24"><circle cx="12" cy="12" r="10" fill="none" stroke="currentColor" stroke-width="2"/><path fill="none" stroke="currentColor" stroke-linecap="round" stroke-width="2" d="M10 8.484C10.5 7.494 11 7 12 7c1.246 0 2 .989 2 1.978s-.5 1.483-2 2.473V13m0 3.5v.5"/></svg>.*
> 
> Niektoré markdown príkazy sú v pomôcke pri markdown bunkách dostupnej cez ikonku žiarovky <svg xmlns="http://www.w3.org/2000/svg" width="14" height="14" viewBox="0 0 24 24"><path d="M10 1c3.11 0 5.63 2.52 5.63 5.62 0 1.84-2.03 4.58-2.03 4.58-.33.44-.6 1.25-.6 1.8v1c0 .55-.45 1-1 1H8c-.55 0-1-.45-1-1v-1c0-.55-.27-1.36-.6-1.8 0 0-2.02-2.74-2.02-4.58C4.38 3.52 6.89 1 10 1zM7 16.87V16h6v.87c0 .62-.13 1.13-.75 1.13H12c0 .62-.4 1-1.02 1h-2c-.61 0-.98-.38-.98-1h-.25c-.62 0-.75-.51-.75-1.13z" fill="#616161"/></svg> *("Markdown Tips")*
>
> Markdown sa dá naučiť za menej ako 10 minút. Krátky interaktívny kurz jazyku Markdown si môžete vyskúšať na https://commonmark.org/.

kódové bunky obsahujú vopred pripravený kód alebo sú ponechané prázdne a môžete v nich sami napísať
- na ich spúšťanie môžete použiť tlačidlo Execute
- ak ste s kurzorom v bunke (pri písaní), môžete ich spúšťať súčasným stlačením kláves Ctrl + Enter (alebo aj klávesová skratka Shift + Enter)
- pri spustení kódovej bunky sa program vykoná a buď sa zobrazí výsledok, alebo sa uložia do pamäte vami zadané údaje (napr. premenné).
- Kódové bunky je potrebné spúšťať postupne od prvej, aby sa medzivýsledok z každej predošlej načítal do tej nasledujúcej. Ak urobíte v niektorej bunke zmenu, tak po opätovnom spustení bunky za v nej zmenené hodnoty prepíšu, resp. sa aktualizuje výstup.

Ďalšie užitočné klávesové skratky nájdete sú uvedené v menu pod ikonkou otáznik .

Niektoré markdown príkazy sú v pomôcke pri markdown bunkách dostupnej cez ikonku žiarovky ("Markdown Tips")

Markdown sa dá naučiť za menej ako 10 minút. Krátky interaktívny kurz jazyku Markdown si môžete vyskúšať na https://commonmark.org/.

Bunka na úpravu markdown

Vyskúšajte niečo dopísať, text do tejto bunky (stlačte Edit nad touto bunkou).
Výskúšajte webový doplnok LaTeX From Web pre kopírovanie $\LaTeX$-u z webu, napr. Wikipédie.

Kódové bunky na vyskúšanie

Vyskúšajte spustiť/upravovať nasledujúce bunky:

Vyskúšajte si: Zmeňte text v pozdrav-e (bunku je potrebné spustiť pre uloźenie zmeny) a opäť ho vytlačte, môžete pridať a svoju vlastnú premennú s textom (medzi úvodzovkami "") a zobraziť ju pomocou print().

Všimnite si: Hoci bolo formálne zadané $f(x) = \dfrac{1}{x} \cdot \sin x$, Sage to automaticky zjednodušil na $f(x) = \dfrac{ \sin x}{x}$. Vo väčšom meradle to vie robiť aj s omnoho komplikovanejšími výrazmi.

Prečo používať Sage?

Hlavnými pomôckami pri výpočtoch v matematike a fyzike sú klasicky papier, pero a kalkulačka, prípadne tabuľkový kalkulátor (napr. Excel).

Poďme si vzájomne porovnať tieto tradičné nástroje so Sagom.

Pozn.: Nie všetko v nasledujúcej/predošlej časti môže byť jasné. Pri troche zmyslu pre vnímanie zákonitostí a vzorcov (+trocha angličtiny) sa ale môžete dovtípiť, čo jednotlivé časti kódu znamenajú. Vyskúšajte urobiť drobné zmeny v kóde a uvidíte, ako sa prejavujú. Táto kapitola nie je o tom, že by ste hneď mali všetkému porozumieť, skôr je to demoštrácia sily a zároveň jednoduchosti Sage. Podrobnejšie sa s výpočtami a jednotlivými funkcionalitami oboznámite v ďalších kapitolách.

Výpočty

na papieri (z hlavy) sa môžeme ľahko dopustiť chyby, časovo náročné
v kalkulačke je to často prácne, neprehľadné, pri zapnutí/vypnutí kalkulačky prídeme o výsledky
v Sagi vieme zadať aj veľmi komplikované vzorce na výpočet, výsledky sa ukladajú do pamäte a dajú sa ľahko použiť v ďalších výpočtoch
- výpočet sa dá ľahko upraviť a okamžite získať nový výsledok, celý postup si vieme uložiť a kedykoľvek upraviť
- SageMath je superkalkulačka, úplne jednoduché výpočty môžu vyzerať už takto

Ukážka: Riešenie sústavy rovníc s neznámymi $x,y,z$:

$$\begin{aligned} 2x + y - z = 3 \\ - x + 3y + 2z = 7 \\ 4x - 2y + z = 1 \end{aligned}$$

Úprava výrazov

na štandardných kalkulačkách nemožné
pri ručnej úprave na papieri sa môže v niektorom z krokov vyskytnúť chyba
v Sagi sú úpravy automatické, nedopúšťa sa chyby, ľahko vieme zadaný výraz skontrolovať/upraviť

Ukážka: Nájdenie všeobecného vzťahu pre čas $t$, v ktorom dosiahne voľne vyhodené teleso konkrétnu výšku $h$ z pohybovej rovnice: $$h = h_0 + v_0 t - \frac{1}{2} g t^2$$

Ukážka: Zjednodušenie výrazu $\sqrt{\dfrac{m^2 v^4}{m^2 v^2} \cdot x}$

Vykresľovanie grafov

na papieri je kreslenie grafov časovo náročné a často nepresné, najmä pri zložitejších funkciách
na bežných kalkulačkách sa to nedá, je potrebná špeciálna grafická kalkulačka, problematický je potom prenos obrázku do počítača (napr. do prezentácie, laboratórneho protokolu)
v Exceli je možné vytvárať grafy, ale je to obmedzené na dáta v tabuľkách (jednotlivé body grafu je potrebné predtým vypočítať)
v Geogebre sa dobre vytvárajú grafy, no pri zložitejších grafoch to vyžaduje veľa vyklikávania, najmä pri zmene hodnôt viacerých parametrov grafu
v Sagi môžeme:
- ľahko vykresliť grafy zložitých funkcií s vysokou presnosťou
- jednoducho upravovať parametre grafov (farby, hrúbka čiar, mierka osí)
- kombinovať viacero grafov do jedného obrázka pre porovnanie
- interaktívne meniť grafy a okamžite vidieť výsledky zmien

Pokročilá ukážka vytvárania grafov.

Ako sa dá ešte Sage používať?

Existuje hneď niekoľko možností, ako môžete používať Sage:

SageMathCell (sagecell.sagemath.org)

jednoduchá online služba, ktorá umožňuje spúšťať kód Sage priamo vo webovom prehliadači bez potreby inštalácie alebo registrácie
MIMORIADNE UŽITOČNÉ pre rýchle a jednoduché použitie Sage s jednou kódovou bunkou

CoCalc (cocalc.com)

pokročilá online platforma pre prácu so Sage, Pythonom a ďalšími nástrojmi
umožňuje vytvárať interaktívne dokumenty - Jupyter Notebooky - so spustiteľným kódom, sprievodným textom a iným obsahom
platený, resp. dostupný v obmedzenej free skúšobnej verzii (menšia kapacita úložiska, nestabilný výkon)

Offline inštalácia (sagemath.org)

nezávisí pri používaní od internetu, ale vyžaduje inštaláciu na vlastnom počítači
je to lokálna verzia Sage a taktiež umožňuje vytvárať Jupyter Notebooky
inštalácia je žiaľ netriviálna, vyžaduje si isté pokročilé zručnosti s Linuxom ("WSL" - Windows Subsystem for Linux)